miércoles, 8 de febrero de 2017

Uso de Maxima en teoría de números enteros, inducción y recursividad

A continuación, pongo un listado de problemas de teoría de números enteros, inducción y recursividad y como Maxima puede ayudarnos a resolverlos.

1- Calcular el mínimo común múltiplo de mcm(12, 30) y mcm(4,6) usando la función lcm(a,b):



2- Comprobar con los números 12 y 30 la siguiente propiedad: el producto de dos números naturales es igual al producto de su máximo común divisor por su mínimo común múltiplo.



3- Para 310 y 181 calcular su máximo común divisor usando el Algoritmo de Euclides ( es decir con la función igcdex ). Escribir, además, este máximo común divisor como combinación lineal de los dos números.


El mcd (310,181) = 1; además 1=310⋅(87)+181⋅(-149)

4- ¿Cuánto vale la suma de los cubos de los n primeros números impares?



5- ¿Cuánto vale la suma de los n primeros múltiplos de 4?



6- ¿Cuánto vale la suma de los cuadrados de los n primeros números pares?


7- Dado el conjunto Z/(45), calcular en qué clase de dicho conjunto están los números enteros 51253 y 5336







8- El número de bacterias de una colonia se triplica cada hora. Si la colonia comienza con cuatro bacterias, calcular el total de bacterias existentes después de n horas. ¿Cuántas bacterias habrá al cabo de 10 horas?

Es una progresión geométrica donde en el instante inicial tenemos 4 bacterias y por cada hora hay que multiplicar el resultado de la hora anterior por 3 (4*3^número de horas). Para calcularlo podemos definir la función recursiva de la siguiente manera:





9- Factorizar en primos los números 312 y 182




10- Definir una función recursiva mcd(a,b) que devuelva el máximo común de dos números positivos a y b,(a>b) usando el algoritmo de Euclides.



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